Cours sur les chaînes de Markov à Oran (Asselah, Chafaï) Un exemple de convergence abrupte vers l’équilibre

1 Distance en variation 1 2 Collectionneur de coupons 3 3 Une marche aléatoire sur le groupe symétrique Σr 7 1 Distance en variation Dans toute cette section, E est un ensemble au plus dénombrable. L'ensemble des lois sur E est un espace métrique pour la distance en variation (on dit aussi variation totale) d V (µ, ν) = sup A⊂E |µ(A) − ν(A)|. On a 0 ≤ d V (µ, ν) ≤ 1 et d V (µ, ν) = 1 si µ et ν ont des supports disjoints. Théorème 1.1 (Expressions alternatives). Si µ et ν sont des lois sur E alors d V (µ, ν) = 1 2 sup f :E→[−1,1] f dµ − f dν = 1 2 x∈E |µ(x) − ν(x)| De plus, le supremum dans la définition de d V est atteint pour l'ensemble A * = {x ∈ E : µ(x) ≥ ν(x)} tandis que dans l'expression variationnelle fonctionnelle de d V il est atteint pour f = 1 A * − 1 A c *. Démonstration. La seconde égalité provient de l'identité f dµ − f dν ≤ x∈E |f (x)||µ(x) − ν(x)| ≤ sup x∈E |f (x)| x∈E |µ(x) − ν(x)| qui est saturée pour f = 1 A * − 1 A c *. Pour la première égalité, on écrit |µ(A) − ν(A)| = 1 2 f A dµ − f A dν où f = 1 A − 1 A c , ce qui donne |µ(A) − ν(A)| ≤ 1 2 sup f :E→[−1,1] f dµ − f dν = 1 2 x∈E |µ(x) − ν(x)|